Нужно ли мне под каждый новый срочный ТД брать с человека заявление о приёме на работу?
нет не нужно, с гражданами Белоруссии у нас отношения особые. Между РФ и Белоруссией заключен договор, в котором признаются равные права и обязанности.
В соответствие со ст. 58 ТК РФ, если ни одна из сторон не потребовала расторжения срочного трудового договора, трудовой договор считается бессрочным - заключенным на неопределенный срок (Для стаховки возьмите с работника заявление о том, что он просит считать его ТД заключенным на неопределенный срок)